Applications affines par intervalles

Jusqu'à présent, les applications affines étaient de la forme ax + b. Cependant, l'introduction d'une valeur absolue, comme dans f(x) = |ax + b|, transforme la fonction en une application affine par intervalles. La valeur absolue de 'a' est définie comme 'a' si 'a' est positif, et comme l'opposé de 'a' si 'a' est négatif.

Prenons l'exemple f(x) = |2x + 1|. Cette fonction peut être réécrite comme deux fonctions affines distinctes : 2x + 1 si 2x + 1 ≥ 0, et -(2x + 1) si 2x + 1 < 0. En résolvant les inégalités, on trouve que 2x + 1 ≥ 0 équivaut à x ≥ -1/2, et 2x + 1 < 0 équivaut à x < -1/2. Ainsi, f(x) se décompose en 2x + 1 pour x ≥ -1/2 et -2x - 1 pour x < -1/2. C'est ce qu'on appelle une application affine par intervalles, car elle prend différentes expressions de la forme ax + b selon l'intervalle de x.

Pour représenter graphiquement f(x) = |2x + 1|, on identifie le point de changement, ici x = -1/2. On trace une ligne verticale à x = -1/2. Pour x ≥ -1/2, on dessine la droite correspondant à y = 2x + 1. Pour cela, on utilise deux points, par exemple (0, 1) et (2, 5). Pour x < -1/2, on dessine la droite correspondant à y = -2x - 1. On choisit deux points dans cet intervalle, comme (-1, 1) et (-2, 3).

La représentation graphique obtenue a la forme d'un 'V' et est symétrique par rapport à la droite x = -1/2. Cela démontre la nature de ces fonctions comme étant composées de segments de droites sur différents intervalles.