Exercice sur le projecteur et la symétrie en dimension finie ( noyau et image d'un projecteur)

La vidéo commence par la présentation d'un exercice sur le projecteur et la symétrie en dimension finie. L'application linéaire F est définie par F(X, Y, Z) = (X, X+Y-Z, X). La première question est de montrer que F est un projecteur de R³. Un projecteur est un endomorphisme F tel que F∘F = F. Un endomorphisme est une application linéaire dont l'ensemble de départ est égal à l'ensemble d'arrivée.

Pour montrer que F est un endomorphisme, il faut d'abord prouver qu'elle est linéaire. La méthode consiste à calculer F(αX + βX') et à montrer qu'elle est égale à αF(X) + βF(X'). Après les calculs, il est démontré que F est linéaire. De plus, comme l'ensemble de départ (R³) est égal à l'ensemble d'arrivée (R³), F est bien un endomorphisme de R³.

Pour prouver que F est un projecteur, il faut également montrer que F∘F = F. En appliquant F(F(X, Y, Z)), on calcule F(X, X+Y-Z, X). En utilisant la définition de F, on trouve que F(F(X, Y, Z)) = (X, X+Y-Z, X), ce qui est exactement F(X, Y, Z). Par conséquent, F∘F = F est vérifié, confirmant que F est un projecteur de R³.

La deuxième question est de déterminer le noyau de F, noté Ker(F). Ker(F) est l'ensemble des vecteurs X, Y, Z tels que F(X, Y, Z) = (0, 0, 0). En posant F(X, Y, Z) = (X, X+Y-Z, X) = (0, 0, 0), on obtient X=0 et X+Y-Z=0. Ces équations impliquent X=0 et Y=Z. Ainsi, les vecteurs du noyau sont de la forme (0, Y, Y), qui peut s'écrire Y*(0, 1, 1). Ker(F) est donc l'espace vectoriel engendré par le vecteur (0, 1, 1). La dimension de Ker(F) est 1, et (0, 1, 1) en est une base.

La troisième question porte sur la détermination de l'image de F, Im(F). Im(F) est l'ensemble des vecteurs de la forme F(X, Y, Z) = (X, X+Y-Z, X). Ce triplet peut être décomposé comme X*(1, 1, 1) + Y*(0, 1, 0) + Z*(0, -1, 0). En simplifiant, on peut représenter Im(F) comme l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs (1, 1, 1) et (0, 1, 0). La famille {(1, 1, 1), (0, 1, 0)} est une famille génératrice de Im(F). Elle est également libre, ce qui en fait une base de Im(F). La dimension de Im(F), ou rang de F, est donc 2.

La quatrième question est de montrer que Ker(F) et Im(F) sont supplémentaires dans R³. Pour cela, il faut montrer que leur intersection est le vecteur nul et que la somme de leurs dimensions est égale à la dimension de R³. L'intersection Ker(F) ∩ Im(F) est trouvée être {0}, car si F(X)=0 et X=F(T'), alors F(F(T'))=0, ce qui implique F(T')=0 (car F est un projecteur), donc X=0. De plus, la dimension de Ker(F) + Im(F) = dim(Ker(F)) + dim(Im(F)) - dim(Ker(F) ∩ Im(F)) = 1 + 2 - 0 = 3, qui est la dimension de R³. Ainsi, Ker(F) et Im(F) sont supplémentaires dans R³.

La cinquième question demande d'exprimer la symétrie S par rapport à Ker(F) et parallèlement à Im(F). Pour un vecteur X = A + B, avec A ∈ Ker(F) et B ∈ Im(F), la symétrie S est définie par S(X) = A - B. Puisque F est une projection sur Im(F) parallèlement à Ker(F), on a B = F(X). Par conséquent, A = X - B = X - F(X). En substituant A et B dans l'expression de S(X), on obtient S(X) = (X - F(X)) - F(X) = X - 2F(X). En utilisant l'expression de F(X), on déduit l'expression analytique de S comme S(X, Y, Z) = X - 2*(X, X+Y-Z, X). Le calcul final donne S(X, Y, Z) = (-X, -2X - Y + 2Z, -X). On peut vérifier que S est bien une symétrie en montrant que S∘S = Id.