29. Módulo o valor absoluto de un número complejo

Se introduce la desigualdad del triángulo para números complejos: el módulo de la suma de dos números complejos es menor o igual que la suma de sus módulos. Finalmente, se presenta otra desigualdad importante que relaciona el valor absoluto de la parte real y la imaginaria con el módulo del número complejo.

El video comienza definiendo el módulo o valor absoluto de un número complejo z = a + bi como la raíz cuadrada de (a² + b²). Se presenta un ejemplo práctico calculando el módulo de 3 - 4i, obteniendo como resultado 5.

Se explica la representación geométrica del módulo como la longitud del vector que representa al número complejo en el plano cartesiano. Utilizando el ejemplo anterior, se demuestra cómo el teorema de Pitágoras confirma esta definición, formando un triángulo rectángulo con catetos de longitudes 3 y 4.

Se detallan propiedades clave del módulo: siempre es un número real y no negativo. El módulo de un número complejo es cero si y solo si el número complejo en sí es cero. Se propone como ejercicio demostrar que el cuadrado del módulo de z es igual a z multiplicado por su conjugado.

Se ofrece la demostración de que el módulo de z al cuadrado es igual a z multiplicado por su conjugado. Se calcula primero el módulo de z al cuadrado y luego el producto de z por su conjugado, mostrando que ambos resultados son a² + b², lo que prueba la igualdad.

Se presenta una lista de propiedades del módulo a demostrar: el módulo de z al cuadrado es igual a la suma del cuadrado de la parte real y el cuadrado de la parte imaginaria, desigualdades relacionadas con la parte real e imaginaria, que el módulo de un producto es el producto de los módulos, y el módulo de un cociente es el cociente de los módulos. También se menciona que el módulo del conjugado de z es igual al módulo de z.