Summary
Highlights
L'exemple 1 démontre la résolution de systèmes d'équations linéaires par trois méthodes : graphique, substitution et élimination. L'objectif est de trouver les valeurs des variables qui satisfont les deux équations. Pour la méthode graphique, mettez les équations sous la forme y = mx + b pour identifier la pente (m) et l'ordonnée à l'origine (b), puis tracez les lignes et trouvez leur point d'intersection. Pour l'élimination, alignez les termes et additionnez ou soustrayez les équations pour éliminer une variable. Pour la substitution, isolez une variable dans une équation et remplacez-la dans l'autre.
L'exemple 3 applique la résolution de systèmes linéaires à un problème concret : déterminer le nombre de paires de deux types de chaussures vendues. Identifiez les variables (nombre de chaussures Adidas et Air Jensen). Formulez deux équations basées sur le total des paires vendues et le total des ventes, puis résolvez en utilisant les méthodes d’élimination ou de substitution.
L'exemple 4 explique comment calculer le point médian et la distance entre deux points. Le point médian est la moyenne des coordonnées x et la moyenne des coordonnées y. La distance est calculée en utilisant une formule dérivée du théorème de Pythagore, impliquant la racine carrée de la somme des différences au carré des coordonnées x et y.
L'exemple 5 illustre comment trouver l'équation d'une médiane d'un triangle, qui relie un sommet au point médian du côté opposé. L'exemple 6 se concentre sur l'équation de la bissectrice perpendiculaire d'un segment de ligne, qui est perpendiculaire au segment et passe par son point médian. Cela implique de trouver la pente du segment, d'obtenir la pente perpendiculaire (négative de l'inverse), puis d'utiliser le point médian pour trouver l'ordonnée à l'origine.
L'exemple 7 montre comment classer un triangle (scalène, isocèle, équilatéral) et vérifier s'il a un angle droit en utilisant la formule de distance pour trouver les longueurs des côtés. Le théorème de Pythagore est utilisé pour vérifier la présence d'un angle droit (a² + b² = c²).
L'exemple 8 explique comment trouver le rayon d'un cercle à partir de son équation (x² + y² = r²). L'exemple 9 montre comment déterminer l'équation d'un cercle centré à l'origine et passant par un point donné, et comment vérifier si un point se trouve à l'intérieur, à l'extérieur ou sur le cercle. L'exemple 10 aborde le calcul de la distance la plus courte entre un point et une ligne, ce qui implique de trouver l'équation de la ligne perpendiculaire et son point d'intersection.
Cette section introduit les trois formes d'équations quadratiques : standard, sommet et factorisée. Chaque forme est utile pour différentes caractéristiques de la parabole. La forme standard (ax² + bx + c) donne l'ordonnée à l'origine (c) et la direction d'ouverture (a). La forme sommet (a(x-h)² + k) révèle le sommet (h, k). La forme factorisée (a(x-r)(x-s)) donne les abscisses à l'origine (r et s).
L'exemple 11 utilise une fonction quadratique donnée sous forme de sommet pour déterminer diverses propriétés : le sommet, l'axe de symétrie, l'étirement/compression vertical, la direction d'ouverture et l'étendue des valeurs x et y. Il est également démontré comment esquisser le graphique à l'aide d'une table de valeurs centrée sur le sommet.
L'exemple 12 montre comment dériver l'équation d'une parabole sous forme de sommet à partir de son graphique. Déterminez le sommet (h, k) et utilisez un autre point (x, y) pour résoudre le facteur d'étirement "a".
L'exemple 13 décrit les transformations d'une fonction quadratique par rapport à la fonction de base x². Il explique les décalages horizontaux et verticaux du sommet, la compression ou l'étirement vertical en fonction de la valeur absolue de 'a', et la réflexion verticale si 'a' est négatif.
L'exemple 14 se concentre sur l'analyse d'une fonction quadratique donnée sous forme factorisée. Il explique comment identifier facilement les abscisses à l'origine. Le sommet et l'axe de symétrie sont trouvés en utilisant la propriété de symétrie des paraboles (l'abscisse x du sommet est la moyenne des abscisses à l'origine).
L'exemple 15 montre comment créer l'équation d'une parabole sous forme factorisée lorsque les abscisses à l'origine et un point supplémentaire sont donnés. Utilisez les abscisses à l'origine comme 'r' et 's', puis utilisez le point (x, y) pour résoudre le facteur d'étirement 'a'.
L'exemple 16 couvre différentes techniques de factorisation des expressions quadratiques. Il aborde la factorisation par produit et somme lorsque le coefficient principal est 1, la factorisation avec un facteur commun, la factorisation par décomposition (lorsque le coefficient principal n'est pas 1 et il n'y a pas de facteur commun), les différences de carrés et les trinômes carrés parfaits.
L'exemple 17 explique comment développer des expressions quadratiques sous forme standard en utilisant la propriété de double distributivité (FOIL). Il met en garde contre l'erreur courante de simplement distribuer la puissance dans une expression comme (x-5)².
L'exemple 18 démontre le processus de conversion d'une équation quadratique de la forme standard à la forme de sommet en complétant le carré. Cela implique de mettre en facteur le coefficient principal, d'ajouter et de soustraire un terme spécial pour créer un trinôme carré parfait, puis de factoriser et de simplifier.
L'exemple 19 présente la résolution d'équations quadratiques par factorisation et par la formule quadratique. Il est souligné l'importance de mettre l'équation à zéro avant de factoriser. La formule quadratique est utilisée pour les équations non factorisables, et le discriminant (partie sous la racine carrée) est expliqué comme un indicateur du nombre de solutions réelles.
L'exemple 20 guide à travers l'esquisse d'une parabole en identifiant ses propriétés clés : ordonnée à l'origine (à partir de la forme standard), abscisses à l'origine (en factorisant et en résolvant pour y=0) et le sommet (en utilisant la symétrie des abscisses à l'origine).
L'exemple 21 applique les fonctions quadratiques à un problème de mouvement d'objets, analysant une équation de hauteur en fonction du temps. Il montre comment trouver quand un objet touche le sol (abscisse à l'origine), quelle est sa hauteur maximale (sommet) et quand il atteint une hauteur spécifique.
Cette section introduit la trigonométrie, les triangles similaires et les rapports SOH CAH TOA. Elle explique pourquoi les rapports sinus, cosinus et tangente restent constants pour des angles de référence identiques dans des triangles rectangles similaires, quelle que soit leur taille. Les côtés (opposé, adjacent, hypoténuse) sont définis par rapport à un angle de référence.
Les exemples 22a et 22b montrent comment utiliser SOH CAH TOA pour trouver des longueurs de côtés inconnues dans les triangles rectangles lorsque d'autres côtés et angles sont connus. Les exemples 22c et 22d expliquent comment trouver des angles inconnus à l'aide des fonctions trigonométriques inverses lorsque deux côtés sont connus.
La dernière partie explique l'utilisation des lois des sinus et des cosinus pour résoudre les côtés et les angles des triangles obliques (non rectangles). L'exemple 22e utilise la loi des sinus pour trouver un côté quand deux angles et un côté sont connus. Les exemples 22f et 22g utilisent la loi des cosinus pour trouver un angle lorsque les trois côtés sont connus, ou pour trouver un côté lorsque deux côtés et l'angle inclus sont connus.