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Cette section introduit le concept de morphisme de groupe, en commençant par la définition : si f est un morphisme du groupe (G, *), alors f(G) avec la loi de composition interne sera également un groupe. Si (G, *) est un groupe commutatif, alors f(G) sera également commutatif. La preuve de cette propriété repose sur la stabilité, l'associativité, l'élément neutre et le symétrique.
Le morphisme f transforme la structure du groupe G en une structure de groupe pour f(G). Si f est un morphisme surjectif de G vers F, alors f(F) est un groupe. Ces résultats sont très importants et sont souvent utilisés dans les exercices et les examens nationaux. Lorsque f est un isomorphisme, les deux groupes ont la même structure.
Plusieurs exemples sont présentés pour illustrer les morphismes de groupe. L'application f(x) = ln(x) est un morphisme de (R+, *) vers (R, +) car ln(xy) = ln(x) + ln(y). L'application g(x) = exp(x) est un isomorphisme de (R, +) vers (R+, *). L'application h(z) = z barre (conjugué) est un automorphisme de (C*, *) et de (C, +). L'application m(theta) = exp(i theta) est un morphisme mais n'est pas un isomorphisme car elle n'est pas injective.
Cet exercice vise à démontrer que l'application f, définie de (C*, *) vers (R²*, étoile) par f(z = a + ib) = (2b, 3a), est un morphisme. La loi 'étoile' sur R² est définie de manière spécifique. La preuve implique de calculer f(z1 * z2) et de montrer qu'il est égal à f(z1) étoile f(z2). Le calcul est détaillé en remplaçant z1 et z2 par leurs formes algébriques et en appliquant les définitions.
En utilisant l'isomorphisme g de (C*, *) vers (R²*, étoile), il est possible de déduire que (R²*, étoile) est un groupe abélien. L'exercice demande également de trouver le symétrique d'un couple (a, b) dans (R²*, étoile). Pour cela, on exprime le couple (a, b) comme l'image d'un nombre complexe par g, puis on utilise la propriété que l'image du symétrique est le symétrique de l'image. Le calcul aboutit à retrouver le symétrique du nombre complexe et à en déduire le symétrique du couple.
La résolution de l'équation (x, y) étoile (x, y) étoile (x, y) = (0, 3) dans (R²*, étoile) est abordée. Pour éviter des calculs complexes avec la loi 'étoile' directement, on utilise l'isomorphisme g. On trouve le nombre complexe z dont l'image par g est (x, y), et on résout ensuite l'équation équivalente z³ = 1 dans C*. Les solutions pour z sont les racines cubiques de l'unité, qui sont 1, j, et j². On convertit ensuite ces solutions en couples (x, y) en utilisant l'application g.
Cet exercice explore la structure de l'ensemble L(R, R) des fonctions linéaires de R dans R, d'abord avec l'addition, puis avec la composition. Pour l'addition, on montre que l'application phi(a) = fa (où fa(x) = ax) est un morphisme de (R, +) vers (L(R, R), +). On montre que phi est surjectif et donc un isomorphisme, ce qui permet de conclure que (L(R, R), +) est un groupe abélien. Pour la composition, on montre que psi(a) = fa est un morphisme de (R*, *) vers (L(R, R)*, o) où L(R, R)* est l'ensemble des fonctions linéaires non nulles. On démontre que psi est un isomorphisme, permettant de conclure que (L(R, R)*, o) est un groupe abélien.
L'exercice introduit l'ensemble E des matrices de la forme M(alpha) = [[cos(alpha), -sin(alpha), 0], [sin(alpha), cos(alpha), 0], [0, 0, 1]]. Il est demandé de montrer que (E, *) (avec la multiplication matricielle) est un sous-groupe du groupe linéaire GL3(R). On montre que E est non vide et stable par multiplication. Ensuite, on démontre que l'application f(alpha) = M(alpha) est un morphisme de (R, +) vers (E, *). Grâce au morphisme, la structure de (E, *) peut être déduite de (R, +). On montre que f est surjectif, donc (E, *) est un groupe abélien. Notons que f n'est pas injectif car M(0) = M(2pi), par exemple.